雷达方程可以说是关于雷达的最基础也是最核心的一个公式，它里头包含了电磁波在雷达和目标之间传播的所有必要信息，是我们做系统设计时最重要的分析工具。雷达方程其实并不复杂，网上的资料也繁多，我在做关于雷达系统设计部分的规划时并没有想过将之用一整篇博文来阐述，但是考虑到其重要性且有一些可能网上的诸多资料没有提及的细节，故还是准备了一篇博文。

    【系统设计部分我将先给出几个细节问题的讨论，再将之串起来给出关于系统设计整体的流程和方法。关于本部分(雷达系统设计)中的一些问题确实是可以综合起来写成一篇博文的，但为了更加突出各个问题细节同时考虑到受众的需求不一样，我还是将之分开了(比如系统设计细节(1)-->(？))。后面几篇我不会说这一段这么多的废话..】

    本博文的内容会随着后续积累的加深而不定期更新。

    系统设计部分专题下我连着写的这几篇系统设计细节(1)—>(？)的博文前后是有较大关联的，建议一起看看。

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20230327 博文第一次写作

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    雷达的工作模式很简单：雷达发射天线发射电磁波--->电磁波碰到物体被散射--->一部分能量反射回到雷达并被雷达接收天线接收--->信号经过雷达的接收链路进行放大、处理和检测--->得到目标。雷达方程便是对从电磁波发射到接收并检测目标这整个过程的定量描述。

    本章内容对这整个过程分步骤进行分析和推导：

    假设雷达发射功率为Pt，当采用全向辐射天线时，在与雷达距离R1处任意一点的功率密度为S1，此时S1为：

    因为是全向辐射，所以电磁波是以球面的形式往外辐射，密度等于功率除以球面积这不难理解。

    不过为了增加某些方向的辐射功率密度，雷达采用的天线一般都是有方向性的(相较于全向辐射天线，该实际使用的天线在某些方向的增益变大而其它地方会变小)，在雷达天线增益为Gt的辐射方向上，距离雷达R1处的目标所在位置接收功率密度S1变成：

    电磁波打到目标时，目标必然会对电磁波进行散射，我们用目标的RCS（散射截面积）来表征其散射特性(关于目标的RCS更具体的可以参考我写另外一篇专题博文： )，目标RCS的定义为：

    式中，P为该目标散射的功率，S为受到照射的功率密度。于是结合(1.2)的功率密度公式，可以得到目标所向外辐射的功率为：

    目标的散射我们假定为全向辐射，设接收天线与目标的距离为R2，那么在接收天线处的回波功率密度S2为：

    而接收天线的有效接收面积Ar与其增益Gr有如下关系：

    在有效接收面积Ar下，接收天线所能接收到的回波功率Pr为：

    对于车载毫米波雷达，雷达一般是收发在一起的，有R1=R2，于是：

    可以看到，随着距离的增加，接收到的功率Pr是在急剧缩小的(与R的四次方成反比)。只有当接收到的功率大于雷达接收机最小可检测功率Smin时,雷达才能可靠地发现目标，如前所述，距离增加会导致接收功率减小，所以当接收功率Pr等于雷达的最小可检测功率Smin时对应的距离为最大距离：

    或：

    该公式定量描述了雷达的探测距离和各主要收发参数之间的关系。

【在进入后续的讨论之前，有必要插一段说明】：我们这里讨论的Rmax是从能量的角度考虑雷达可以达到的最远检测距离,而从数据处理的角度来看，雷达的最远检测距离有公式：

    式中S为雷达所发射的chirp斜率，c为光速，f = min{Fif,fadc}为中频带宽和IQ采样时采样率中较小者，我们在做系统收发参数的设计时应该使得Rmax_process ≥ Rmax，这部分的说明我在博文中的距离模糊部分有较详细的说明，这里重申一下。

    此时对于公式（1.10）中，我们对Smin还是一无所知，该公式也并没有考虑到系统损耗、接收机内部噪声、外部干扰等的影响，我们可以尝试分析一下这个Smin。

    首先，我们引入一个衡量接收机(可以简单理解成雷达的整个接收链路)内部噪声的量：噪声系数F，其定义为接收机的输入SNRi/输出SNRo:

    接收机的输入噪声功率Ni有公式(这个公式怎么来的甚至涉及到一些热统的知识了，对于我们分析雷达来说不重要，将之作为一个可信的“定理”即可)：

    式中，K为玻尔兹曼常数，B为接收机带宽（也即ADC的采样带宽），T0为标准室温(一般取290开尔文)。

    接收机的输出信号功率So有公式:

    式中Ga为接收机的增益(这里的这个增益Ga特指硬件上对信号幅度的放大，比如LNA和功放的增益)，硬件的这些增益是为了使信号在接收链路中可以满足后端硬件的输入要求，或者说为了使信号可以被检测到，这些增益是没法提高信号的SNR的，事实上这个增益也会作用于输入的噪声Ni，接收机的输出噪声No有公式：

    也即：会导致SNR的损失。

    我们再回到雷达方程中，输入信号功率Pr也就是这里的Si,我们引入噪声系数后变成（从公式(1.12)）：

    对于Si(也就是我们的接收功率

    把这个式子带入到前述距离公式（1.10），可以得到：

    我们之前讨论的Pr、Si、Smin都是指信号的功率，现在我们把这个功率成功转变成了信号的SNR。此时的公式已经接近完美了，但是还不够：要注意到我们前面的讨论也只是考虑了噪声，但是并没有考虑到系统的损耗L、以及我们实际做检测时的信号处理的增益Gs（这个增益不同于之前所提及的接收链路中LNA以及各类功放的增益Ga，这个增益Gs是可以提高SNR的），我们把这两个参数引入到前述公式中进行进一步优化：

    再来对系统损耗L和信号处理增益做进一步的讨论：

    系统损耗值L是需要我们针对接收链路上的各个硬件系统(从LNA到功放到混频器到滤波器到ADC，关于雷达的硬件架构可以参考我之前的博文：)进行分析得到的,这部分的内容暂时不在本文的讨论范围，那篇介绍硬件架构的博文也没有对损耗的分析和说明，相关的内容我预计后面会本系统设计部分出一期博文进行专题讨论。

    系统损耗值L其实我们也可以在雷达做好之后，基实测结果来得到该值，这么说其实有点逻辑颠倒了：【我们应该是先做系统分析再做雷达，如果如前所述的话变成了做了雷达再来分析系统参数了…】,这个损耗值对于基于收发集成的芯片制作的雷达来说这里给出一个参考值比如3dB（不同的硬件系统该值是不同的！！！，不过为了使得所设计的雷达至少在最远检测距离上有所冗余，该值可以取大一点），此外需要注意的是，如果我们在做天线设计时没有考虑雷达外壳/保险杆的影响，这个系统损耗值L还需要包含雷达外壳对能量的损耗、雷达安装于保险杠内时保险杠对能量的损耗。

    再来讨论处理增益Gs,具体到车载毫米波雷达领域，一般来说我们是对采集的信号首先进行距离和速度维度的压缩之后才进行目标检测的（关于信号处理的基本内容可以参考我之前写的博文：），这里不做过多阐述，总之，这两维的压缩(通过FFT的方法)是会对SNR有提升的，因为信号是相干的而噪声是非相干的，这里的压缩过程本质上是信号的相干积累过程。从理论上讲，相干积累的信噪比等于单个脉冲的信噪比乘以脉冲串中的脉冲数M,也即：相干积累的信噪比的改善可以达到M倍，（但实际中受到目标回波起伏的影响而使信噪比的改善小于M倍），可以简单参考如下的仿真结果：

图1.1 FFT对SNR的增益效果示意图

    仿真中，设计信号频率为10KHz，信号幅值为1，采样率为其4倍，采样点数为256个点，信号为IQ两路采样，可以看到FFT后信号的幅值近似等于256。这便是FFT对SNR提升的体现。

    我们这里暂且认为其SNR提高了M倍，因为我们同时在距离维度和速度维度都做了压缩，设距离维度的采样点数为N_rangesamplse（且为IQ两路采样，如果是单路的需要除以2），速度维度的采样点数为N_dopplersamples于是：

    则对应的距离公式变成：

    【该式可以当作我们做雷达系统设计时可以取信的雷达方程式了】，关于该公式，Ti有其另外的版本：

    式中，相较于前面给出的式子在分子上少了N_rangesamplse多了

    而前面说过，ADC的采样率f_adc也就是接收机的带宽B（IQ两路采样时）。

    最后说说公式中的

    对雷达方程的推导，到公式(1.22)算是结束了。絮絮叨叨写了这么多，用一句话做个小结：本章以上算是十分详细地给出了雷达方程的推导过程，分析了方程中的各个变量。

    雷达威力图我将之定义为：对于雷达而言，在某个特定RCS和目标SNR阈值下，雷达不同角度下的最远探测距离。因为雷达的天线在不同角度下的增益是不一样的，所以不同角度下的最远探测距离自然不一样。

    对于车载毫米波雷达产品，一般产品介绍中的其最远探测距离说的是雷达法向下的最远探测距离(因为一般天线法向的增益是最大的)。为更直观地表述和帮助理解，这里我基于前述公式（1.22）画出雷达法向的特定RCS目标的理论SNR随距离的变化，并基于我这边所参与项目中的一个天线的仿真结果的数据画出雷达的威力图。【使用公式时要特别注意各个变量的单位！】，以下参数的选取我尽量贴近了实际应用。

表2.1仿真中所使用参数值的列表

仿真结果如下：

图2.1 在前述参数设置下基于雷达方程得到的目标SNR与距离的关系图

为简化说明，我下面的天线数据认为收发是一样的。

 图2.2 天线增益图

图2.3 雷达威力图1

    把它转换成x、y坐标下，雷达在(0,0)处。

图2.4 雷达威力图2

    本博文主要探讨雷达方程，给出了雷达方程的细节推导并对方程中一些变量做了详细说明，以及基于雷达方程给出了一些仿真结果。本博文内容涉及到的一些更多的细节比如RCS、SNR与目标检出率，虚警率关系等需要与系统设计这个专题下所写的其它几篇博文做相互补充。

1、《现代雷达系统分析与设计》

2、Ti的

本博文中的仿真代码以及提供的天线的仿真数据见下述链接：